Interval kepercayaan saat menggunakan teorema Bayes

Saya menghitung beberapa probabilitas bersyarat, dan interval kepercayaan 95% yang terkait. Untuk banyak kasus saya, saya memiliki jumlah xkeberhasilan langsung dari npercobaan (dari tabel kontingensi), sehingga saya dapat menggunakan interval kepercayaan Binomial, seperti yang disediakan oleh binom.confint(x, n, method='exact')in R.

Namun dalam kasus lain, saya tidak memiliki data seperti itu, jadi saya menggunakan teorema Bayes untuk menghitung dari informasi yang saya miliki. Misalnya, peristiwa yang diberikan dan : $a$ $b$

P (Sebuah | b) = \frac{P (b | Sebuah) \cdot P (Sebuah)}{P (b)}

$P(a|b) = \frac{P(b|a) \cdot P(a)}{P(b)}$

Saya dapat menghitung interval kepercayaan 95% di sekitar menggunakan , dan saya menghitung rasio sebagai rasio frekuensinya . Apakah mungkin untuk mendapatkan interval kepercayaan sekitar menggunakan informasi ini? $P(b|a)$ $\textrm{binom.confint}(\#\left(b\cap{}a),\#(a)\right)$ $P(a)/P(b)$ $\#(a)/\#(b)$ $P(a|b)$

Terima kasih.

r bayesian confidence-interval conditional-probability hidden-markov-model segmentation hypothesis-testing statistical-significance multiple-comparisons multiple-regression r regression survey sample finite-population pca model-selection dataset partitioning clustering time-series least-squares regression standard-error causality r time-series outliers missing-data machine-learning svm hypothesis-testing discrete-data r data-visualization survey likert finance regression pca feature-selection stepwise-regression underdetermined svm natural-language

— Ken Williams
sumber

a

$a$ dan adalah acara. Dalam kasus saya, adalah kegagalan sistem (yang cukup langka, sehingga relatif sulit ditemukan "di alam liar"), dan adalah alarm pra-kegagalan, jadi saya mengukur probabilitas kegagalan yang diberikan alarm.

b

$b$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Komentar di atas adalah menanggapi seseorang yang meminta lebih banyak latar belakang tentang apa dan , tetapi tampaknya telah menghapus komentar itu.

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Anda tidak bisa hanya mengambil interval kepercayaan untuk p (b | a) dan skala dengan p (a) / p (b) karena ketidakpastian dalam estimasi rasio itu. Jika Anda dapat membuat interval kepercayaan 100 (1-α)% untuk p (a) / p (b) sebut saja [A, B] lalu ambil batas bawah untuk interval kepercayaan 100 (1-α)% untuk p ( b | a) dan kalikan dengan A dan ambil batas atas untuk p (b | a) dan gandakan dengan B. Itu harus memberi pada interval yang memiliki setidaknya 100 (1-α) tingkat kepercayaan % untuk p (a | b).

^{2}

$^2$

— Michael R. Chernick

Bisa bekerja ... mendapatkan interval kepercayaan untuk tidak jelas bagi saya - apakah Anda merasa ingin memindahkan ini ke area "Jawab"? Saya berjanji setidaknya satu suara positif. =)

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Bukankah Anda menginginkan interval kredibel Bayesian ? Itu langsung dihitung dari distribusi posterior .

a

$a$

— whuber

Nah, Anda tidak bisa hanya mengambil interval kepercayaan untuk dan skala dengan karena ketidakpastian dalam estimasi rasio itu. Jika Anda dapat membuat interval kepercayaan untuk , maka ambil batas bawah untuk interval kepercayaan untuk dan kalikan dengan dan mengambil bagian atas menuju dan kalikan dengan . Itu harus memberi pada interval yang memiliki setidaknya tingkat kepercayaan untuk . $p(b|a)$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $[A, B]$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $p(b|a)$ $A$ $p(b|a)$ $B$ $100(1-\alpha)^2\%$ $p(a|b)$

— Michael R. Chernick
sumber

Tampaknya bisa diterapkan setidaknya sebagai tikaman pertama. Tapi saya tidak mengetahui metode untuk menurunkan interval kepercayaan untuk rasio dua probabilitas Bernoulli mengingat jumlah dan diamati dalam populasi sampel.

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Ada satu metode yang konon untuk menghitung interval pada oleh Katz et al., 1978. Saya tidak dapat menemukan kertas asli tanpa paywalls, tetapi citer ini tampaknya menunjukkan metode: jstor.org/ temukan / 10.2307 / 2531405

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Jika saya belum melakukan kesalahan, inilah fungsi untuk melakukan estimasi interval rasio Bernoullis:

binrat.confint <- function(x, y, n=Inf, m=n, p=0.95) {   s2 <- 1/x - 1/n + 1/y - 1/m;   x/y * exp(c(-1:1)*pnorm((1+p)/2)*sqrt(s2)) }

— Ken Williams